четверг, 9 июня 2016 г.

Закон Био-Савара-Лапласа для расчета магнитных полей линейного и кругового токов.

Закон Био-Савара-Лапласа для расчета магнитных полей линейного и кругового токов.


Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает величину и направление вектора магнитной индукции dB в произвольной точке магнитного поля, создаваемого элементом dl проводника с током. Био и Савар провели в исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как; векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными; элементарными участками токов. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dlЛаплас получил формулу
dB = μμ [dl r]I//4πr3
(3.101),
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; μ —магнитная проницаемость; μ0-—магнитная постоянная (μ0 = 4π*10-7 Гн/м), dl —вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника, к точке, магнитная индукция в которой определяется. Модуль вектора dB выражается формулой
dB = (μμ/4π) I sinα dl /r2
(3.102),
где α — угол между векторами dl и r. Соотношение (3.102) носит название закона Био-Савара - Лапласа.
Применим закон Био - Савара - Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рисунок - 3.29). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r0 от провода. Из рис. рисунка - 3.29 видно, что r =R/sinαdl =rdα/sinα = R sin2αПодставим эти значения в формулу магнитной индукции:
dB = (μμ/4πI R sinα sin2α  /R2 sin2α = (μμ/4πI sinα  /R
Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от до π. Следовательно, B = ∫ dB = (μ0μ/4πI/R∫ sinα  = (μμ/4π) 2I/RТаким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током
B = (μμ/4π) 2I/R,
(3.103),
где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.
Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рисунок - 3.30). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка.
Рисунок - 3.29
Рисунок - 3.30
Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно Rто, согласно закону Био-Савара - Лапласа, dB = (μμ/4πI/R2dlТогда
B = ∫dB = (μμ/4πI/R2dl = (μμ/4πI/R22πR = μμI/2R
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна
B = μμI/2R
(3.104).


Комментариев нет:

Отправить комментарий