Ток смещения. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и их физический смысл.

Система уравнений Максвелла есть полная система уравнений классической электродинамики, которая описывает все электромагнитные явления как в вакууме, так и в произвольной материальной среде. Эти уравнения были сформулированы в 60-ые годы XIX в. Дж. К. Максвеллом на основе обобщения опытных данных и развития идеи М. Фарадея о существовании электромагнитного поля, посредством которого осуществляется взаимодействие заряженных частиц. Современная математическая форма записи системы уравнений Максвелла создана Г. Герцем и О. Хевисайдом.

Уравнения Максвелла могут быть записаны как в дифференциальной, так и в эквивалентной интегральной форме, где величины определяются на линиях, поверхностях и объемах. 

  Электромагнитное поле имеет две силовые характеристики в виде напряженности электрического поля и магнитной индукции , а также две вспомогательные величины – электрическое смещение и напряженность магнитного поля . Силовые характеристики определяют силу   

с которой электромагнитное поле действует на точечный электрический заряд  q, движущийся со скоростью v.

Исходя из симметрии физических процессов в природе, можно предположить, что переменное во времени электрическое поле порождает магнитное поле. К этому же выводу пришел Дж. К. Максвелл, применяя теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля для анализа протекания квазистационарного тока через конденсатор.

Пусть квазистационарный ток I(t) протекает через конденсатор ёмкостью C   (рис.). Запишем теорему о циркуляции вектора , используя контур L, который охватывает проводник с током I(t), и две поверхности S1 и S2, опирающиеся на контур, как показано на рисунке,

  

        

      Ток проводимости не пересекает поверхность S2 (между обкладками конденсатора нет тока проводимости), поэтому при выборе поверхности S2 циркуляция вектора   должна равняться нулю.

Поскольку циркуляция вектора  по контуру L не должна зависеть от выбора поверхности, опирающейся на этот контур, то для устранения возникающего противоречия необходимо каким-то образом изменить выражение в правой части теоремы о циркуляции вектора  . Выход был найден Максвеллом, который ввел понятие тока смещения с вектором плотности

.                                                                             

Согласно Максвеллу ток смещения необходимо учитывать в теореме о циркуляции вектора   наряду с обычным током проводимости, создаваемым движущимися электрическими зарядами.

Обобщенная с учетом тока смещения теорема о циркуляции вектора   записывается следующим образом

                

Здесь при наблюдении с конца единичного вектора нормали n к поверхности S, опирающейся на контур L, обход контура должен совершаться против хода часовой стрелки. Согласно последней формуле переменное во времени электрическое смещение является таким же источником магнитного поля, что и ток проводимости.

Уравнения Максвелла связывают величины , ,  и  с источниками электромагнитного  поля в виде пространственных распределений электрического заряда и тока проводимости. Если эти распределения заряда и тока проводимости заданы, уравнения Максвелла позволяют найти величины  , ,  и  в каждой точке пространства и в любой момент времени.

Кроме того, полная система уравнений Максвелла включает в себя так называемые материальные уравнения, устанавливающие соотношения между парами векторных величин  и , а также  и . Эти материальные уравнения определяются физической природой той среды, в которой описываются электромагнитные явления. На поверхности раздела двух сред, где электрические и магнитные характеристики меняются скачком, выполняются граничные условия, устанавливающие связь между определенными компонентами векторов , ,  и   вблизи этой поверхности раздела.

Дополнив  основные факты из области   электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики в интегральной форме:

и дифференциальной форме:

Закон сохранения заряда не вошел в число фундаментальных, т.к. является следствием уравнений 2 и 3.

Для описания электромагнитных явлений в среде к четырем уравнениям необходимо добавить материальные уравнения, определяющие отклик среды на действие электромагнитного поля. В области относительно слабых полей для большинства изотропных сред справедливы следующие материальные уравнения

Здесь  и  - относительная диэлектрическая проницаемость и относительная магнитная проницаемость среды соответственно,   - электропроводность среды и  - сторонняя сила, действующая на свободные заряды среды, q – величина свободного заряда.

Если имеется поверхность раздела двух сред, на которой скачком меняются электрические и магнитные характеристики этих сред, то из системы уравнений Максвелла следуют граничные условия, которые выражают непрерывность тангенциальных компонент векторов  и 

,                                                           

а также нормальных компонент векторов   и 

 ,                                                            

при переходе через границу раздела двух сред. Граничные условия получаются в отсутствие на поверхности раздела двух сред поверхностных зарядов и токов проводимости.

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей, т.к. в отличие от электрических зарядов пока не обнаружено магнитных зарядов - магнитных монополей, хотя такие теории есть.

физический смысл уравнений Максвелла:

В первом уравнении (.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами. В этом уравнении — вектор электрического смещения, ρ — объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (.2)

Сопоставление уравнений (.2) и (.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (.3) и (.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру.

В уравнении (.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля (). Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.

В уравнении (.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем .

Справочно: