Волновая функция и ее физический смысл. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния.

Состояние некоторой частицы в квантовой (волновой) меха­нике задается так называемой волновой функцией , которая может быть как действительной, так и комплексной. Согласно М. Борну, квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема

(5.1)

или, другими словами, дает плотность вероятности (вероят­ность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в данном месте пространства, т. е.

Интеграл от квадрата волновой функции,взятый по всему пространству, должен быть равен единице:

(5.2)

Действительно, этот интеграл определяет вероятность нахождения частицы в одной из точек бесконечного пространства, т. е. веро­ятность достоверного события, которая равна единице - физический смысл волновой функции. Условие (5.2) называется условием нормировки.

Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

       Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:

(4.4.1)

где m – масса частицы,i² – мнимая единица,  – оператор Лапласа   – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция,  постоянная Планка (Дирака).

       Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае  вы получите уравнение Шредингера для стационарных состояний:

 ,

.

(4.4.3)

       Уравнение Шредингера можно записать в виде  .

       В этом уравнении  – оператор Гамильтона, равный сумме операторов  . Гамильтониан является оператором энергии E.

Поскольку волновая функция, с одной стороны, имеет вероятностный смысл, а, с другой – является решением уравне­ния Шредингера, т. е. дифференциального уравнения 2-го порядка, то на нее накладываются определенные, так называемые стандартные условия:

• волновая функция должна быть конечна, непрерывна, однозначна;

• производные ,,должны быть непрерыв­ны;

• волновая функция должна быть квадратично интегрируема, т. е. интеграл должен быть конечным.