Частица в одномерной потенциальной яме. Туннельный эффект.

 Рассмотрим частицу в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциальной энергией U(x) следующего вида:

где l – ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 5.1).

 х

Рис. 5.1

       Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

.

(5.2.1)

       По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид:

.

(5.2.2)

В пределах ямы (  ) уравнение Шредингера (5.2.1) сводится к уравнению

(5.2.3)

(5.2.4)

       Общее решение дифференциального уравнения: .А т.к. по (5.2.2)  , то B = 0. Тогда

,

(5.2.5)

уравнение  выполняется только при  , где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

.

(5.2.6)

       Получаем из выражений (5.2.4) и (5.2.6) следует, что энергия частицы зависит от n:

,

(5.2.7)

где n = 1, 2, 3… .

       Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия E_n частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии E_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни– главным квантовым числом.

       Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне E_n,или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

       Подставив k в (5.2.5), из (5.2.6) найдем собственные функции:       Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (4.3.3), которое для данного случая запишется в виде .       В результате интегрирования получим  , а

 собственные функции будут иметь вид:

.

(5.2.8)

а

б

Рис. 5.2

       Графики собственных функций (5.2.8), соответствующие уровням энергии (5.2.7) при п = 1, 2, 3, приведены на рис. 5.2, а. На рис. 5.2, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы:  для п = 1, 2, 3… . 

Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

       Из выражения 5.2.7 следует, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

.

(5.2.9)

       Например, для электрона при размерах ямы  (свободные электроны в металле)  , т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (  ), то для электрона , т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). 

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

       Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная  . 

Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна: Δx = l. Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса:       Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия  . Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение.       Из функций (5.2.1) и (5.2.7) следует, что при больших квантовых числах   , т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней,и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.       Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.

******************************

Потенциальный барьер и туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы.

Рис. 5.4

       Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:

       При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.

       Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > Uимеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

       Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:

,

(5.4.1)

.

(5.4.2)

       Общее решение этих дифференциальных уравнений:

(5.4.3)

       В данном случае, согласно (5.4.2),  – мнимое число, где        Можно показать, что A₁ = 1, B₃ = 0, тогда, учитывая значение q,получим 

решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(5.4.4)

       В области 2 функция (5.4.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные.

       Качественный анализ функций Ψ₁(x), Ψ₂(x), Ψ₃(x) показан на рис. 5.4. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.

       Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы  .

       Для барьера произвольной формы  .

       Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляет Связанная с этим разбросом кинетическая энергия  может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.

        Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.

       

       Основы теории туннельных переходов заложены работами советских ученых Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например α-распад, протекание термоядерных реакций).