Циркуляция B. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и соленоида.

Циркуляция B. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и соленоида.

Циркуляцией вектора B индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура L называется интеграл вида

∫В dl = ∫Вl dl

(3.97),

где L — контур произвольной формы, dl — элемент длины контура в направлении его обхода. Интегрирование распространено на всю длину замкнутого контура.

Закон полного тока магнитного поля в вакууме: циркуляция вектора индукции магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

∫В dl = ∫Вl dl = μ0∑Ik

(3.98),

где n - число всех проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Токи считаются положительными, если из конца вектора плотности тока, направленного по оси проводника в сторону тока, обход контура L кажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае токи считаются отрицательными. Токи, которые не охватываются контуром L, не влияют на циркуляцию B.

Магнитную индукцию поля, созданного постоянным током I, текущим по виткам бесконечно длинного соленоида, внутри этого соленоида на его оси можно определить, применяя теорему о циркуляции вектора индукции.

Поле соленоида и тороида. Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят примерно так, как показано на рисунке - 3.31. Пусть имеем очень длинный соленоид, длина которого l во много раз больше, чем диаметр его витков, что обеспечивает однородность магнитного поля внутри соленоида. по виткам которого течет ток I. На рисунке - 3.31 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рисунке - 3.31. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно теореме равна

∫ Вl dl=μ0NI. ABCDA

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CDконтур перпендикулярен линиям магнитной индукции и В_l = 0. На участке вне соленоида В = 0. На участке DAциркуляция вектора В равна В1 (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

∫ Вl dl=μ0NI. DA

Отсюда приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида в вакууме:

B = μ0Nl/l

(3.99).

Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается эта же формула.

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рисунок - 3.32).

Рисунок - 3.31	Рисунок - 3.32

Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции: B2πr = μ₀Nl. Откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме) равна

B = μ0Nl/(2πr),

(3.100),

где N — число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и В_*2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

Другим способом расчета магнитного поля токов является применение для этого закона Био—Савара—Лапласа.