ЭМВ и их свойства. Уравнение ЭМВ. Длина волны, волновой вектор.

Известно, что электрические заряды создают в пространстве электрические поля. Если заряды находятся в движении, то эти поля меняются во времени; кроме того, движущиеся заряды создают магнитные поля. Если движения зарядов являются колебательными, то и создаваемые зарядами поля также колеблются во времени и в пространстве, причем эти возмущения полей распространяются с конечной скоростью (скоростью света), то есть происходит распространение электромагнитных волн. Колебания зарядов в природе в большинстве случаев являются гармоническими, то есть синусоидальными, или близкими к синусоидальным. Мы знаем, что синусоидальные колебания возникают, когда смещение чего-либо от положения равновесия пропорционально возвращающей силе; при малых возмущениях эта линейная связь работает почти всегда. Наш электрический мир не является статичным, большинство зарядов в квазинейтральных системах постоянно колеблется вблизи равновесного положения.

        Если есть волна, то значит, что-то её создало. Волны, возникнув, существуют уже независимо от своего источника; даже если он исчезнет, созданная им волна продолжит свой путь в пространстве. Поэтому волновое уравнение описывает только волну, но никак не её источник.

        Также с электромагнитными волнами. Нас будут интересовать сами волны, а не источники, которые их когда-то создали и, может, давно уже исчезли. Напишем основные уравнения электродинамики - уравнения Максвелла для области пространства, занятой волнами, где нет накаких источников - зарядов и токов.

        Иными словами, уберём из этих уравнений все заряды и токи. Для однородной и изотропной среды, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами (такая среда называется линейной, поскольку выполняется линейная связь между напряженностью и индукцией электрического и магнитного полей соответственно), получим:

        Путём чисто математических преобразований, без каких-либо дополнительных предположений эти уравнения приводятся к виду:

   

   

        А это есть ни что иное, как волновые уравнения для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Коэффициент в правой части уравнений есть обратный квадрат фазовой скорости волны; отсюда сразу находим эту скорость:

        В вакууме e = m = 1, откуда получаем результат, весьма озадачивший современников Максвелла: скорость распространения электромагнитных волн в вакууме есть константа, не зависящая от системы отсчета (уравнения Максвелла, как известно, не инвариантны к преобразованиям Галилея):

Как известно, отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе называется показателем преломления. Из теории Максвелла получаем, что показатель преломления определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями среды:

.

В случае немагнитных сред .

        Общее решение волнового уравнения нам известно. Частный случай этого решения - синусоидальные волны. Особенность электромагнитных волн в том, что решения для E и H дают одну волну с двумя составляющими; кроме того, колеблющиеся величины - векторные.

Плоские и сферические волны

Найдем решения волнового уравнения. Предположим для простоты, что электрическое поле зависит только от одной координаты, например z, и времени. В этом случае оператор Лапласа сводится к и волновое уравнение принимает вид

. 

Одним из возможных решений этого уравнения является плоская монохроматическая волна:

.

Как известно, величина E0 называется амплитудой, а все выражение, стоящее под знаком косинуса, – фазой волны. Величина  задает начальную фазу.

Распределение поля в монохроматической плоской волне показано на рис. (4.1). Пусть в момент времени t0 точка волны с фазойнаходится на координате z0. В следующий момент t0 + Dt точка с этой фазой сместится на расстояние Dz = v×Dt. Очевидно, что Dz > 0, т. е. волна распространяется в положительном направлении оси Z. Для того, чтобы получить уравнение волны, распространяющейся в отрицательном направлении, достаточно поменять знак в фазе: .

Таким образом, параметр v, более точно называемый не просто скоростью, а фазовой скоростью, определяет скорость перемещения волнового фронта, т. е. поверхности, на которой колебания происходят с одинаковой фазой. В данном случае волновые фронты являются плоскостями, перпендикулярными оси Z: z = const, чем и объясняется название волны – “плоская”.

Поле волны может быть записано и по-другому, например, в виде

. (4.15)

Здесь введено обозначение . Параметр k называется волновым числом. Используя справедливое для волн любых типов соотношение l×n = v, находим, что . 

Учитывая, что по формулам Эйлера , будем использовать также символическую запись поля в комплексном виде:

. 

При этом надо помнить, что реальное физическое поле определяется как вещественная часть выражения

Часто бывает необходимо рассмотреть волну, которая распространяется не вдоль оси Z, а в каком-то произвольном направлении. Пусть это направление задается единичным вектором нормали к волновому фронту n (рис. 4.2). Тогда уравнение поверхности постоянной фазы можно записать в виде , где r – радиус-вектор к некоторой точке волнового фронта. Следовательно, в уравнении плоской волны вместо z следует записать скалярное произведение nr:

, (4.17)

где k = kn – волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направление указывает направление перемещения волнового фронта.

Вторым важным типом волн являются сферические волны, волновые фронты которых представляют собой концентрические сферы. Анализ этих волн удобно вести в сферической системе координат (r, q, j), см. рис. 4.3. Сферические волны представляют собой такие решения волнового уравнения (4.10), которые зависят только от расстояния r и не зависят от угловых координат q и j.

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть записана как

. 

Следовательно, волновое уравнение принимает вид:

. (4.19)

 Его решение можно записать в виде

. (4.20)

Решение (4.20) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника, находящегося в начале координат. Отметим, что, в отличие от плоской волны, амплитуда сферической волны убывает с увеличением ее радиуса. Испускать сферическую волну может любой источник, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. При этом источник может содержать еще очень большое количество элементарных излучателей – атомов (так называемый физический точечный источник).

 Свойства электромагнитных волн, непосредственно следующих из решения векторных волновых уравнений.

Свойства электромагнитных волн

Электромагнитные волны - поперечные, то есть вектора E и H

колеблются поперек

поперёк направлению распространения волны.

Векторы Е и H взаимно перпендикулярны, так, что вектора v, E, H

образуют правую тройку

образуют правую тройку векторов.

Векторы Е и Н колеблются в одной фазе.

Модули векторов Е и Н связаны соотношением:

Энергия электромагнитных волн

        Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде, как известно из электродинамики, даётся выражением (мы учли здесь также связь между векторами Е и Н в электромагнитной волне):

        Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (то, что в теории упругих волн называется вектором Умова) называется вектором Умова-Пойнтинга, или чаще просто вектором Пойнтинга Р:

Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны: 

        В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:

для интенсивности получается:

        Следует обратить внимание, что интенсивность электромагнитной волны зависит от амплитуды (либо электрического, либо магнитного поля; они связаны), но не зависит от частоты волны - в отличие отинтенсивности упругих механических волн.