Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Исходным положением классической статистической физики является различимость тождественных частиц (частицу можно отличить от всех таких же частиц по её координатам и импульсу). Классические частицы обладают индивидуальностью. Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц. В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют сою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы частиц, подчиняющиеся законам квантовой механик. “Объёктом” излучения квантовой статистики является идеальный газ, к которому во многих случаях можно свести реальную систему частиц. 

Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы,обладающие энергией Е= .Фонон есть квант энергии звуко­вой волны(так как упругие волны — волны звуковые).Фононы являются квазичасти­цами —элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (напри­мер, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при сто­лкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят оквазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235), так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.1) для фононов необходимо m положить равным нулю.

Состояние системы невзаимодействующих частиц задаётся с помощью так называемых чисел заполнения . Эти числа указывают степень заполнения данного квантового состояния (одного отдельного энергетического уровня), характеризуемого наборомi квантовых чисел, частицами системы, состоящей из множества тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами (частиц с нулевым или целочисленным спином) эти числа могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, 3,…, так как на них не распространяется принцип Паули. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу системы.

Идеальный газ из бозонов (бозе -газ) описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна

Здесь - среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией,k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура,- химический потенциал. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы и может иметь значения. Положительные значения приводят к отрицательным значениям чисел заполнения .

Для системы частиц, образованных фермионами (частицы с полуцелым спином), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 – для свободных состояний (энергетических уровней) и 1 – для занятых.

Идеальный газ из фермионов (ферми - газ) описывается квантовой статистикой Ферми-Дикара.

Если , то оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, где .

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Здесь может иметь и положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям ). Если , то оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, где .

т.е. при высоких температурах оба “квантовых” газа ведут себя подобно классическому идеальному газу.

Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить среднее число заполнения . Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение бозе-газа и ферми-газа отличается от классической газа и они оба являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Температурой вырождения Т₀называется температурой, ниже которой отчётливо проявляются квантовые свойства идеального газа.

Вырожденный электронный газ в металлах.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Среднее число заполнения <N(Е)> электронов в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т = 0⁰К равно

,

где μ₀– химический потенциал электронного газа при температуре Т = 0⁰К.

Для фермионов <N(Е)> совпадает с вероятностью заселенности квантового состояния, т.к. квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это значит, что для фермионов <N(Е)> - есть функция распределения электронов по состояниямf(E).

При Т = 0⁰К: <N(Е)> = 1, если Е < μ₀,

<N(Е)> = 0, если Е > μ_0.

При Е = μ₀функция распределения скачкообразно изменяется 1 до нуля. Это означает, что при Т = 0⁰К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с Е = μ₀, заполнены электронами, а все уровни с энергией Е > μ₀свободны.

Следовательно, μ₀есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0⁰К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией ФермиE_F.

,

где m- масса электрона,h- постоянная Планка,n- концентрация свободных электронов в металле (м^-3).

По оценке при n= 10²⁸– 10²⁹м^-3

E_F≃ 5 эВ.

Температура Т₀вырождения газа находится из условия:

kT₀=E_F.

Для электронов в металле Т₀≃ 10⁴К, т.е. электронный газ в металле практически всегда вырожден и подчиняется квантовой статистике.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области энергии (порядка ∼kT) в окрестности энергии Ферми E_F. Это объясняется тем, что при Т > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к энергии Ферми E_F, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится большеE_F. Вблизи границы Ферми при Е <E_Fзаполнение электронами меньше 1, а при Е >E_F– больше 0. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например, при комнатной температуре Т≃300 К и температуре вырождения Т₀≃ 10⁴К это 10^-5от общего числа электронов. Из сказанного следует, что при температуре:

1. энергия свободных электронов в металле не может быть выше энергии Ферми;
2. в каждом энергетическом состоянии не может находиться более 1 электрона.

При температуре выше (Т > 0⁰К)

1. резкий спад по вертикали функции распределения при Е = E_Fсменяется плавной кривой (рис. 179);
2. состояние электронов, обладающих энергией Е«E_Fне изменяется при нагревании металла;
3. искажение функции происходит в узком (≃ 2kT) интервале вблизи энергииE_F, из чего следует, что в процессе передачи тепла металлу участвует лишь малая доля свободных электронов, равная отношениюkT/E_F. При комнатной температуреkT/E_F≃ 0,01, а это означает, что в механизме теплопроводности в металле участвует лишь 1 электрон из 100 свободных.

Несмотря на большое число свободных электронов в металлах молярная теплоемкость металлов мало отличается от молярной теплоемкости полупроводников и диэлектриков, т.к. теплоемкость электронного газа ничтожно мала.

Сверхпроводимость– явление резкого падения удельного сопротивления металлов при низких температурах (близких к Т=0⁰К), называемых критическими. Наибольшее наблюдавшееся значение критической температуры Т_кр= 20 К.

Проводник при температуре выше критических для него называют сверхпроводником и ему присущ ряд свойств. Некоторые их них:

1. В сверхпроводнике наблюдается незатухающий электрический ток в течение длительного времени (1 год и более).
2. Магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника.

В настоящее время объяснение этому явлению служит образование куперовских пар, состоящих из электронов с антипараллельными спинами, являющихся бозонами, которые склонны накапливаться в основном состоянии в неограниченном количестве, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние.

Куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в этом состоянии неограниченно долго, обеспечивая незатухающий ток.

Характер теплового движения в кристаллах. Фононы

В кристаллах атомы совершают так называемые тепловые колебания относительно среднего положения, определяемого узлом кристаллической решетки. Характер этих тепловых колебаний в упрощенном виде таков – колеблющаяся частица взаимодействует со своими соседними, т.е. колебания передаются от атома к атому и распространяются в кристалле в виде упругих тепловых волн. Механизм этих волн аналогичен механизму звуковых волн, так как упругие волны – волны звуковые. Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью звука в твёрдых телах.

Энергия тепловых волн подобно энергии электромагнитных волн тоже квантована, энергия кванта равна

Е = hν.

Аналогично кванту света – фотону, вводится понятие кванта звуковой энергии – фонона. Фонон – квазичастица, и ее основное отличие от обычных частиц (электрона, протона и др.) заключается в том, что она не может существовать в вакууме, так как для своего возникновения и существования нуждается в некоторой вещественной среде. Фононы, распространяясь в кристалле, рассеиваются как при встрече друг с другом, так и на дефектах решетки. Согласно квантово-механическим представлениям фонон можно рассматривать как гармонический осциллятор, имеющий энергию

E_n=(n+ , гдеn= 0, 1, 2, 3, …

Квантовый характер тепловых волн, т.е. их дискретность, при температурах ниже Θ_Д, определяется соотношением

Θ_Д=,

где Θ_Дхарактеристическая температура Дебая,k- постоянная Больцмана,_max- максимальная частота тепловых колебаний частиц.

Эти волны называют дебаевскими тепловыми волнами.

Сверхпроводимость

Прежде чем на основе квантовой теории приступить к качественному объяснению явления сверхпроводимости, рассмотрим некоторые свойства сверхпроводников.

Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменя­ется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оп­тические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электрических свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоем­кости, а при переходе в сверхпроводящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность, и теплоемкость (такие явления характерны для фазовых переходов II рода; см. § 75). Достаточно сильное магнитное поле (а следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) раз­рушает сверхпроводящее состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейсснер (1882—1974), в сверхпроводящем состоя­нии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры (см. § 98) магнитное поле из него вытесняется (эффектМейсснера).

Общность эффектов, наблюдаемых в сверхпроводящем состоянии различных ме­таллов, их соединений и сплавов, указывает на то, что явление сверхпроводимости обусловлено физическими причинами, общими для различных веществ, т. е. должен существовать единый для всех сверхпроводников механизм этого явления.

Физическая природа сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. на основе теории (создана Ландау в 1941 г.) сверхтекучести гелия (см. § 237). Теория сверх­проводимости создана американскими физиками Д. Бардином (р. 1908), Л. Купером (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931) и развита Н. Н. Боголюбовым.

Оказалось, что помимо внешнего сходства между сверхтекучестью (сверхтекучая жидкость протекает по узким капиллярам без трения, т. е. без сопротивления течению) и сверхпроводимостью (ток в сверхпроводнике течет без сопротивления по проводу) существует глубокая физическая аналогия: и сверхтекучесть, и сверхпроводи­мость — это макроскопический квантовый эффект.

Качественно явление сверхпроводимости можно объяснить так. Между электрона­ми металла помимо кулоновского отталкивания, в достаточной степени ослабляемого экранирующим действием положительных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с колебаниями решетки) воз­никает слабое взаимное притяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобладать над отталкиванием. В результате электроны проводимо­сти, притягиваясь, образуют своеобразное связанное состояние, называемое куперовской парой.«Размеры» пары много больше (примерно на четыре порядка) среднего межатомного расстояния, т. е. между электронами, «связанными» в пару, находится много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить (оторвать один из ее электронов), надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притяжения элект­ронов пары. Такая энергия может быть в принципе получена в результате взаимодейст­вия с фононами. Однако пары сопротивляются своему разрушению. Это объясняется тем, что существует не одна пара, а целый ансамбль взаимодействующих друг с другом куперовских пар.

Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин такой пары равен нулю и она представляет собой бозон. К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, находящихся в одном состоянии, не ограничено. Поэтому при сверхнизких температурах бозоны скапливают­ся в основном состоянии, из которого их довольно трудно перевести в возбужденное. Система бозе-частиц — куперовских пар, обладая устойчивостью относительно воз­можности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводи­мости.

Теплоемкость газов и твердых тел

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры (см. § 53). Согласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (kT<<E), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы прак­тически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.

Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т. е. E_вращ<<E_кол(см. § 230), то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колеба­тельные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости (см. рис. 80).

Функции распределения Ферми — Дирака для T=0 К иT>0 заметно различаются (рис. 312) лишь в узкой области энергий (порядка kT).Следовательно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимо­сти. Этим и объясняется отсутствие заметной разницы между теплоемкостями метал­лов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией (см. § 103).

Как уже указывалось (см. § 73), классическая теория не смогла объяснить также зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, а квантовая статистика реши­ла эту задачу. Так, А. Эйнштейн, приближенно считая, что колебания атомов кристал­лической решетки независимы (модель кристалла как совокупности независимых коле­блющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов), создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Она впоследствии была развита П. Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмотрел непрерывный спектр частот гармонических ос­цилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы,обладающие энергиейЕ= .Фонон есть квант энергии звуко­вой волны(так как упругие волны — волны звуковые).Фононы являются квазичасти­цами —элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (напри­мер, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при сто­лкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235), так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.1) для фононов необходимо m  положить равным нулю.

Применение статистики Бозе — Эйнштейна к фононному газу — газу из невза­имодействующих бозе-частиц — привело П. Дебая к количественному выводу, соглас­но которому при высоких температурах, когдаT>>T_D(классическая область), теплоем­кость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти (см. § 73), а при низких температурах, когдаT<<T_D(квантовая область), — пропорциональна кубу термодина­мической температуры:С_V~Т³. В данном случаеT_D— характеристическая температу­ра Дебая,определяемая соотношениемkТ_D= ,где —предельная частота уп­ругих колебаний кристаллической решетки. Таким образом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений теплоемкости твердых тел (см. § 73 и рис. 113).

Модель квазичастиц — фононов — оказалась эффективной для объяснения откры­того П. Л. Капицей явления сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31, 75). Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947) российским ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости (см. § 239).

Эффект Джозефсона

На основе теории сверхпроводимости английский физик Б. Джозефсон (р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект, названный его именем (Нобелевская премия 1973 г.). Эффект Джозефсона(обнаружен в 1963 г.) — протекание сверхпроводящего тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной1 нм), раз­деляющий два сверхпроводника (так называемый контакт Джозефсона).Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря туннельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некоторое критическое значение, то падения напряжения на нем нет (стационарный эффект),если превышает — возникает падение напряжения U и контакт излучает электромагнитные волны (нестационарным эффект). Частота v излучения связана с U на контакте соотношением v=2eU/h (е —заряд электрона). Возникновение излучения объясняется тем, что куперовские пары (они создают сверхпроводящий ток), проходя сквозь контакт, приобретают относительно основного состояния сверхпроводника избыточную энергию. Возвращаясь в основное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии hv=2eU.

Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабых магнитных полей (до 10^–18Тл), токов (до 10^–10А) и напряжений (до 10^–15В), а также для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.