Фазовая и групповая скорость и связь между ними

Фазовой скоростью υ (или v) монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость υ равна 

(6.1)

Здесь – круговая частота, k – волновое число, c – скорость света в вакууме.

Как показывает опыт, все без исключения среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией. Закон дисперсии можно задать либо в виде зависимости показателя преломления от частоты , либо в виде функции

  , 

либо, наконец, в виде зависимости волнового числа от частоты

  . 

В качестве аргумента в законе дисперсии может быть вместо использована длина волны в среде.

При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны. Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса. Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться. В общем случае наблюдается расплывание волнового пакета. Рис 6.1. иллюстрирует это утверждение.

По теореме Фурье волновой пакет 1 можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн разных частот. На выходе все спектральные компоненты будут вновь складываться, образуя новый волновой пакет 2. Деформация волнового пакета                                                                                                          происходит вследствие изменения                                                                                                          фазовых соотношений.

Рисунок 6.1.

Расплывание волнового пакета в диспергирующей среде.

Вопрос о скорости распространения волнового пакета в среде с дисперсией достаточно сложен и неоднозначен. Можно, например, следить за перемещением переднего фронта (точка A на рис. 6.1). Обычно в теории рассматривается так называемая групповая скорость, то есть скорость перемещения центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды (точка B).

Рассмотрим простой случай – распространение амплитудно-модулированной волны. При z = 0, то есть на входе в диспергирующую среду, колебание можно записать в виде 

(6.2)

Этот процесс может быть представлен в виде суперпозиции трех синусоидальных колебаний с частотами

  , , : 

(6.3)

Каждая из этих спектральных компонент будет распространяться в среде со своей фазовой скоростью: 

(6.4)

Таким образом при z > 0 можно записать: 

 (6.5)

Рассмотрим случай достаточно малых значений z, удовлетворяющих условию 

(6.6)

В этом случае высокочастотные колебания частоты , описываемые 1-ым и 2-ым слагаемыми в (6.5), практически не отличаются по фазе и могут быть объединены. Тогда 

(6.7)

Функцию E(z, t) можно рассматривать как амплитудно-модулированную волну с медленно изменяющейся во времени и пространстве амплитудой

. «Моментальная фотография» этой функции изображена на рис. 6.2.

Рисунок 6.2.

Амплитудно-модулированная волна.

Как видно из (6.7) модулируемая волна распространяется с фазовой скоростью

  . 

Скорость распространения огибающей, то есть модулирующей волны, есть 

(6.8)

Это и есть групповая скорость.

Условие (6.6) означает, что волна распространяется не изменяя своей формы, то есть остается (в данном случае) волной, модулированной по синусоидальному закону. При нарушении условия (6.6) при больших значениях z форма волны искажается и групповая скорость теряет смысл.

Рисунок 6.3.

Кривая дисперсии и геометрический смысл фазовой и групповой скоростей

.

Для пояснения различия между фазовой и групповой скоростями дисперсионную кривую обычно задают в виде функции 

, хотя, разумеется, во многих других случаях роль независимой переменной предпочтительно отдавать частоте , поскольку частота не изменяется при переходе волны из одной среды в другую. На рис 6.3 изображена некоторая зависимость с целью проиллюстрировать геометрический смысл фазовой и групповой скоростей.

Между фазовой и групповой скоростями может быть установлена связь 

(6.9)

Соотношение (6.9) называется формулой Рэлея. Возможны два случая:

1) , – случай нормальной дисперсии

2) , – случаи аномальной дисперсии

Следует сделать несколько важных замечаний.

1. При экспериментальном определении скорости света в среде всегда измеряется групповая скорость u.

2. В соответствии с теорией относительности групповая скорость не может превышать скорости света в вакууме

  .

3. Теория относительности не налагает ограничений на величину фазовой скорости (возможны случаи и ).